PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss

La notion de PGCD a été évoqué en classe de Seconde avec une recherche manuelle de celui-ci en utilisant par exemple la décomposition en éléments simples ou encore l'ensemble des diviseurs.

On va s'intéresser aujourd'hui à l'algorithme d'Euclide qui correspond à une approche mécanique de la méthode et qui permet surtout de trouver le PGCD de deux nombres sans en chercher les diviseurs.

Cette nouvelle technique permettra, à l'aide du théorème de Bézout de déterminer des couples d'entiers relatifs vérifiant une égalité de la forme au+bv=1.

Enfin, grâce au théorème de Gauss, on apprendra à résoudre des équations diophantiennes, outil fondamental des mathématiques.

C'est donc un chapitre très important pour l'arithmétique qui va vous demander une bonne maitrise du calcul.

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